3. Solution particulière de l'équation différentielle y' + ay = 0
Théorème et définition
Il existe une unique solution de l'équation différentielle \(y' + ay = 0\) satisfaisant la condition initiale \(y({x_0}) = {y_0}\). C'est la fonction \(y(x) = {y_0}{e^{-a(x - {x_0})}}\).
Cette fonction est appelée solution particulière de l'équation.
Exemple
Donner la solution générale de l'équation différentielle \(y' + 3y = 0\).
Donner la solution particulière satisfaisant la condition initiale \(y(1) = 2\).
Solution
Solution générale de l'équation différentielle \(y' + 3y = 0\) :\( y(x) = A{e^{ - 3x}}\)
Solution particulière satisfaisant la condition initiale \(y(1) = 2\) :\( y(x) = 2{e^{ - 3(x - 1)}}\).
En effet, \(y(1) = 2 \Rightarrow A{e^{ - 3}} = 2 \Rightarrow A = 2{e^3} \Rightarrow y(x) = 2{e^3}{e^{ - 3x}} = 2{e^{3 - 3x}} = 2{e^{ - 3(x - 1)}}\)