EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE

L'équation différentielle \(y' + ay = 0\), (a réel) est appelée équation différentielle homogène du premier degré.

Une fonction f est solution de l'équation différentielle \(y' + ay = 0\) sur un intervalle I si f est dérivable sur I telle que \(f'(x) + af(x) = 0\), pour tout x de I.

Montrer que la fonction \(f(x) = 3{e^{5x}}\) est solution de l'équation différentielle \(y' - 5y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

Si \(f(x) = 3{e^{5x}}\) , alors pour tout x de \(\mathbb{R}\), \(f'(x) = 3 \times 5{e^{5x}} = 15{e^{5x}}\).

Dans l'équation différentielle \(y' - 5y = 0\), on remplace y par\( f(x) et y' par f'(x)\) :

On obtient \(f'(x) - 5f(x) = 15{e^{5x}} - 15{e^{5x}} = 0\) ce qui montre que l'équation est vérifiée. Alors la fonction \(f(x) = 3{e^{5x}}\) est solution de l'équation différentielle \(y' - 5y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

Les fonctions solutions sur un intervalle I de l'équation différentielle \(y' + ay = 0\) sont les fonctions définies sur I par \(y(x) = A{e^{ - ax}}\) où A est un réel quelconque.

Ces fonctions sont appelées solution générale de l'équation.