1. Introduction
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction f. De plus, cette équation fait intervenir la fonction f ainsi que ses dérivées, d'où le terme différentiel.
Les équations différentielles apparaissent naturellement dans de nombreux domaines : physique, électricité, biologie, évolution des populations, modélisation informatique....
Exemple1 :
L'équation différentielle \(y'(x) + \sin x = 0\) a pour solution la fonction \(y(x) = \cos x\).
En effet \(y(x) = \cos x \Rightarrow y'(x) = - \sin x \Rightarrow y'(x) + \sin x = 0\)
Exemple2 :
L'équation \({\bf{y}}''\left( {\bf{x}} \right) - {\bf{2y}}'\left( {\bf{x}} \right) + {\bf{y}}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{0}}\) a pour solution toute fonction du type
\(f(x) = (Ax + B){e^x}\) où A et B sont des réels.
En effet, si on remplace \(y(x)\) par \(f(x)\),\( y'(x)\) par \(f'(x)\) et \(y''(x)\) par \(f''(x)\) ; l'équation est vérifiée.