Les interférences lumineuses

On appelle d₁= S₁M : la distance suivi par la lumière de la fente S₁ à un point quelconque M de l'écran.

On appelle d₂= S₂M : la distance suivi par la lumière de la fente S₂ jusqu'au point M de l'écran.

La différence de marche est la différence entre la distance d₂ et d₁. Elle est notée : δ=d₂-d₁

Soit x l'abscisse du point M de l'écran comptée à partir du centre O de l'écran.

Soit D : la distance entre l'écran E et le diaphragme qui contient les deux fentes S₁ et S₂ telle que D=OI avec I : milieu de S₁ et S₂ et O : projection orthogonale de I sur l'écran E

Soit H : la projection orthogonale de M sur le plan du diaphragme

• Dans le triangle S₂ H M rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

\(S_2 M_{}^2 = S_2 H^2 + HM^2 \Leftrightarrow d_2^2 = D^2 + (x + \frac{a}{2})^2 (1)\)

• Dans le triangle S₁ H M rectangle en H le théorème de Pythagore permet d'écrire :

\(S_1 M_{}^2 = S_1 H^2 + HM^2 \Leftrightarrow d_1^2 = D^2 + (x - \frac{a}{2})^2 (2)\)

\(\begin{array}{l}(2) - (1) \Leftrightarrow d_2^2 - d_1^2 = (x + \frac{a}{2})^2 - (x - \frac{a}{2})^2 = 2ax \\{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{(d}}_{\rm{2}} - d_1 )(d_2 + d_1 ) = 2ax \\\end{array}\)

• Dans l'expérience, x et a sont toujours petits par rapport à D, car x et a sont de l'ordre du mm alors que D est de l'ordre du mètre ; donc on peut considérer que \(d_1 + d_2 \approx 2D\)

La différence de marche dévient \(\delta = \frac{{ax}}{D}\)

• Les franges brillantes correspondent aux points où les deux ondes arrivent en phase c'est-à-dire pour les quels:

\(d_2 - d_1 = k\lambda \Leftrightarrow \frac{{ax}}{D} = k\lambda \Rightarrow x = \frac{{k\lambda D}}{a}\)

k : ordre de la frange brillante

\(k = 0 \Rightarrow x_0 = 0\)on a la frange brillante centrale (d'ordre 0)

\(k = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{{\lambda D}}{a}\)on a la frange brillante d'ordre 1

\(k = 2 \Rightarrow x_2 = \frac{{2\lambda D}}{a} = 2x_1\)on a la frange brillante d'ordre 2

• Les franges obscures correspondent aux points où les deux ondes arrivent en opposition de phase c'est-à-dire pour les quels

\(d_2 - d_1 = (2k' + 1)\frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow \frac{{ax}}{D} = (2k' + 1)\frac{\lambda }{2} \Rightarrow x = (2k' + 1)\frac{{\lambda D}}{{2a}}\)

k' : ordre de la frange obscures

k'=0 on a la 1^ère frange obscure, sa position sur l'écran est donnée par \(x'_0 = \frac{{\lambda D}}{{2a}} = \frac{1}{2}x_1\) Elle est donc intercalée entre les franges brillantes d'ordre 0 et 1

k'=1 \(\Rightarrow x'_1 = \frac{{3\lambda D}}{{2a}} = \frac{{\lambda D}}{a} + \frac{{\lambda D}}{{2a}} = x_1 + \frac{1}{2}x_1\) Cette frange obscure d'ordre 1 est donc aussi intercalée entre les franges brillantes d'ordre 1 et 2.

Voir le système de franges

L'interfrange i est la distance séparant les milieux de deux franges consécutives de même nature

Calcul de l'interfrange:

Prenons deux franges brillantes consécutives d'ordre k+1 et k

\(i = x_{k + 1} - x_k = \frac{{(k + 1)\lambda D}}{a} - \frac{{k\lambda D}}{a} = \frac{{\lambda D}}{a}\)

Prenons deux franges obscures consécutives d'ordre k'+1 et k'

\(i = x_{k' + 1} - x_{k'} = \frac{{(2(k' + 1) + 1)\lambda D}}{{2a}} - \frac{{(2k' + 1)\lambda D}}{{2a}} = \frac{{2\lambda D}}{{2a}} = \frac{{\lambda D}}{a}\)

Donc en définitif \(i = \frac{{\lambda D}}{a}\)

tels que i, D, a et λ sont exprimés en m.

• Les positions des franges brillantes sont données par:

\(x = \frac{{k\lambda D}}{a} = k.i\)

• Les positions des franges sombres ont données par

\(x = \frac{{(2k + 1)\lambda D}}{{2a}} = (k + \frac{1}{2})i\)

Le rapport \(p = \frac{\delta }{\lambda } = \frac{{ax}}{{D\lambda }} = \frac{x}{i}\) est appelé ordre d'interférence :

Ainsi les franges brillantes ont un ordre d'interférence entier (\(p = \frac{x}{i} = k\)) et les franges sombres ont un ordre d'interférence demi- entier (\(p = \frac{x}{i} = k + \frac{1}{2}\))

La valeur de p nous renseigne sur le numéro de la frange considérée comptée à partir de la frange centrale pour laquelle : p= 0 (x=0).